Keerukate tekstülesannete lahendaja

Marek Strandberg

Elust ja diferentsiaalvõrranditest räägib riigi teaduspreemia laureaat Jaan Janno. Koolimatemaatikast on ilmselt paljudel meeles tekstülesanded. Neile vastuse leidmine tähendabki ju võrrandi koostamist ja selle lahendamist. Kui lugu on keerukam kui Tallinnast Tartusse sõitva rongi kiirus või sõprade käes olevate õunte arv, on ka võrrand keerukam. Kui tekstülesanne sisaldab eeldusi olude muutumise ja nende muutuste suhet mingi muu muutusega, on otstarbekas kirja panna diferentsiaalvõrrand. Võrrandi lahendiks pole sellistel puhkudel aga mitte arvud, vaid muutuste tegelikud põhjused ehk funktsioonid. Kui on vaja kirjeldada radioaktiivset lagunemist või kvantosakeste liikumist või ka rebaste ja jäneste populatsiooni käitumist, on põhjust kasutada diferentsiaalvõrrandeid. Kui meil on arusaam keskkonnast, kust levib läbi valgus või helilaine, saame selle helilaine ülestähendust ja diferentsiaalvõrrandite lahendeid kasutades aimu keskkonna enese kohta. Seda võib nimetada pöördülesandeks, mille puhul lainete levi tulemust vaadeldes teeme järeldusi, millest koosneb koht, kust lained tulid. Ei tea, kas on parim näide, aga saab ju ka mererannas krobeliseks muutunud rannajoonel olevat liivast põhja vaadeldes ja mõõtes üht-teist järeldada lainete kohta, mis sellise mustri olid tekitanud. J aan Janno on Tallinna Tehnikaülikooli matemaatikainstituudi direktor, kes sai riigi teaduspreemia just diferentsiaalvõrrandite lahendusmeetodite eest, mille abil on lahendatavad nii mitmeski praktilises rakendusvallas olulised pöördülesanded. M. S.

Matemaatikahuvist. Kas see oli teil olemas lapsepõlves? On ehk mingi asjaolu, mis teid matemaatika juurde juhatas?

Jaan Janno: Küllalt oluline osa oli minu isal, kes oli kooli matemaatika õpetaja ja mind juhendas. Sünnipärased eeldused on ka soodsad matemaatikaga tegelemiseks. Kes oli teid enim mõjutanud õppejõud ja kas on mingi eriline põhjus, miks olete keskendunud just oma praegusele uurimisteemale? Osaliselt sattusin oma praeguse uurimisteema juurde juhuslikult. Tartu Riikliku Ülikooli matemaatikateaduskonna kolmandal kursusel toimus kursusetööde juhendajate valik. Selleks lasti ringi käima mingi paber, kust tuli sobiv õppejõud valida. Minu kätte jõudis see miskipärast hilinemisega, kui kõik teised olid oma valiku juba teinud. Jäänud oli vaid arvutusmatemaatika kateeder ja professor Gennadi Vainikko. Keegi ei julgenud teda valida, kuna ta oli listis ainuke professor, pealegi veel kuulus teadlane. Eks see pisut tõstis minu eneseuhkust, et mul selline juhendaja oli. Samal ajal olin pisut pettunud, sest parema meelega oleksin valinud informaatika ja programmeerimise suuna. Kuid hiljem ei ole mul olnud põhjust oma saatuse üle nuriseda. Ma sattusin teaduslikus mõttes väga inspireerivasse keskkonda. Kursusetööks sain ühe konkreetse pöördülesande ja siiani olengi pöördülesannete temaatika juurde pidama jäänud.

Te tegelete pöördülesannete lahendamisega. Milliseid rakendusvaldkondi see puudutab? Milliseid uudseid meetodeid rakendate?

Pöördülesandeid esineb paljudes valdkondades ja nende definitsioonid varieeruvad. Ma tooksin siinkohal vastava definitsiooni deterministlike protsesside korral. Nimelt esineb sellistes protsessides kahte liiki suurusi: põhjused ja tagajärjed. Kui on teada kõik põhjused ja eesmärgiks on leida tagajärjed, siis on tegemist päripidiülesandega. Kui aga osa põhjusi on teadmata, kuid on olemas teatud info tagajärgede kohta ning soovitakse määrata tundmatuid põhjusi, siis on tegemist pöördülesandega. Kui konkreetsemaks minna, siis põhjusteks võivad olla (füüsikalise jm) keskkonna omadusi iseloomustavad parameetrid, protsessi algtingimused jm, tagajärjeks aga protsessi olek (nt temperatuur, elektromagnetiline või deformatsioonilaine). Protsessi matemaatiliseks mudeliks on sageli diferentsiaalvõrrand. Sel juhul on keskkonna parameetriteks võrrandi kordajad ja protsessi olekuks võrrandi lahend. Pöördülesanne keskkonna parameetrite leidmiseks seisneb võrrandi kordajate määramises lahendi mõõtmistulemuste alusel.

Minu uurimistemaatika on siiani piirdunud viskoelastsete ja viimasel ajal ka mikrostruktuuriga materjalide parameetrite määramise pöördülesannetega. Olen oma kolleegidega välja töötanud mitmeid meetodeid, mida saab kasutada tugevalt mittelineaarsete ülesannete jaoks. Need on niisugused ülesanded, mida ei saa lineaarsetega lähendada. Näiteks mikrostruktuuriga materjalide parameetrite määramiseks kasutame erikujulisi laineid: üksiksolitone. Need esinevad vaid tugevalt mittelineaarses keskkonnas. Solitonide kasutamine pöördülesannetes on uudne lähenemisviis. Sellest kirjutasime koos Jüri Engelbrechtiga monograafia.

Kas igal matemaatilisel teoreemil, meetodil on füüsilises maailmas olemas oma analoog või nähtus, mille olemuse see matemaatiline konstruktsioon avab?

Vastus on ei. Raske on ette kujutada näiteks mitteklassikalise loogika analooge füüsilises maailmas. Matemaatika ja füüsilise maailma suhted on siiski huvitav teema ja siin võib leida aspekte, mis pakuvad ainest filosoofilisteks mõtisklusteks. Näiteks võib matemaatiku loodud maailm olla täiuslikum kui füüsiline. Asja illustreerimiseks tooksin ühe näite. Kõik koolis käinud inimesed teavad, mis on reaalarvud. Tegemist on füüsilise maailma otsese abstraktsiooniga – igale reaalarvule vastab parajasti üks sirge punkt. Kõigi reaalarvudega on võimalik sooritada kahte põhitehet: liitmist ja korrutamist. Järjestikuse korrutamise kaudu saab defineerida uue tehte: täisarvulise astendajaga astendamise. Astendamise pöördtehe on juurimine. Juurimistehe on juba kitsendatud, nt negatiivsest arvust ruutjuurt leida ei ole võimalik. Täiendades reaalarvude hulka kujuteldava lisaelemendi, nn imaginaarühikuga, milleks on ruutjuur miinus ühest, tekib mainitud tehete kaudu juba suurem arvude hulk – kompleksarvud. Kompleksarvude hulk on täiuslikum kui reaalarvude hulk, ja seda lisaks tehetele ka mitmes muus mõttes. Näiteks komplekssete funktsioonide teooria on loomulikum ja lihtsam kui reaalfunktsioonide teooria. Eksisteerib nn kompleksne eksponentfunktsioon, mille lõigeteks reaalarvude hulgas on kõik trigonomeetrilised funktsioonid ja lisaks reaalne eksponentfunktsioon. Signaali spektraaljaotuse saab arvutada, kasutades kompleksarvudel defineeritud Fourier’ teisendust jne. Ühesõnaga: lisades füüsilises maailmas tuntud reaalarvudele imaginaarse mõõtme, tekib täiuslikum maailm (vähemalt matemaatilises mõttes).

Millised matemaatika valdkonnad on teile veel huvi pakkunud peale diferentsiaalvõrrandite lahendamismeetodite?

Praktikas esineb sageli „halbu” ülesandeid, mille lahendid on väga tundlikud algandmete häirete suhtes, st algandmete väike viga võib põhjustada lahendi suure vea. Niisuguseid ülesandeid nimetatakse mittekorrektseteks. Mittekorrektsusest tingitud halbade mõjude vähendamiseks kasutatakse regulariseerimist. Regulariseerimine seisneb selles, et mittekorrektne ülesanne asendatakse temale lähedase korrektse ülesandega. Olen uurinud teatud regulariseerimismeetodeid. Tegelikult on see temaatika pöördülesannetega tihedalt seotud.

Milline on üliõpilaste matemaatikaoskuste tase ja ettevalmistus, millega te kokku puutute?

TTÜs on tehnilise füüsika õppekava, milles on spetsialiseerumine rakendusmatemaatikale. Seega on tehnikaülikoolis ka teatud arv matemaatika tudengeid. Nende taseme üle ei ole siiani vaja olnud nuriseda. Erinevalt TÜ matemaatika õppekavadest anname interdistsiplinaarsemat haridust, pakkudes matemaatilistele ainetele lisaks mitmesuguseid aineid füüsika, mehaanika ja ka tehnika valdkonnast. Lisaks õpetavad meie õppejõud matemaatikat ka teiste TTÜ õppekavade tudengitele. Seal on ettevalmistus väga erinev. On neid, kelle teadmised on üsna kehvad, kusjuures lüngad on isegi põhikooli tasemel. Kuid nende kõrval on ka väga hea ettevalmistusega tudengeid. Kui auditooriumis on koos väga erineva tasemega tudengid, siis teeb see õpetamise raskeks. Nõrgemate järeleaitamiseks oleme sisse viinud matemaatika täiendusõppe, milles tegeletakse gümnaasiumi matemaatika kordamisega. Paralleelselt nõrgemate järeleaitamisega tuleb täiendavalt tegeleda ka tugevamate tudengitega, kes näevad end perspektiivis magistri- või doktoriõppes. Nende jaoks pakume lisaaineid süvaõppe raames.

Matemaatika mõistmine ja kasutamine on anne nii nagu keelegi kasutamine. Neurofüsioloogid väidavad, et vaid lapse teatud arenguperioodil on matemaatilistel annetel võimalik välja kujuneda ja mõjule pääseda. Kas peaksime muutma oma koolihariduse, ka lasteaias pakutava hariduse, põhimõtteid, et laste matemaatilised anded paremini avalduksid?

Ma ei usu, et selles osas on võimalik leida oluliselt uusi põhimõtteid ja neid teostada. Ilmselt saab lapse võimete väljaarendamine toimuda vaid teatud lisaõppe vormis, mis selles eas ja arengufaasis ei saa toimuda teiste ainete vähendamise arvelt. Millised konkreetselt selle lisaõppe sisu ja vorm peaksid olema, eks seda teavad pedagoogikaspetsialistid paremini. Lisaõpe paneb muidugi täiendava koormuse õpetajate õlgadele. Kuna tegemist on ühiskonna tuleviku seisukohalt väga olulise tööga, oleks seda vaja vääriliselt hinnata ja tasustada.

Mis on matemaatiku jaoks õnn – mis paneb südame põksuma ja saavutatu üle heameelt tundma?

Teaduslikul tasemel tegeletakse matemaatikas peamiselt teoreemide tõestamisega. Ühe raske teoreemi tõestamine nõuab piisavalt teadmisi, kuid ka intuitsiooni ja leidlikkust. See muudab matemaatika tegemise põnevaks ja paneb positiivsest tulemusest rõõmu tundma. Sageli peetakse saadud tulemusest olulisemaks meetodit, millega selle tulemuseni jõuti. Prestiižikad matemaatikaajakirjad võtavadki avaldada vaid artikleid, mis sisaldavad uudseid meetodeid, mida saab kasutada matemaatiliste probleemide lahendamisel.

Millised on teie hobid ja harrastused?

Klassikaline muusika (passiivse tarbijana), genealoogia, tervisesport.

Mida peate heaks teaduseks ja kas Eestis on võimalik teha head teadust?

Hea teadus on selline, milles sisaldub teatav üllatusmoment. Kas saadud tulemuses või selleni viinud meetodis on midagi niisugust, mis ei ole ootuspärane. Kui kasutatakse tuntud meetodeid ootuspäraste tulemuste saamiseks, siis on tegemist keskpärase teadusega. See on minu kui teoreetiku vaatepunkt. Empiirilistes teadustes võivad olla teistsugused kriteeriumid. Eestis tehakse palju head teadust. Isegi nii palju, et riik ei suuda seda kinni maksta. Edaspidi oleks vajalik erakapitali senisest suurem kaasamine teaduse toetamisse. See ei ole muidugi lihtne ülesanne.

Kas on midagi, mida teie meelest tuleks teaduse ja kõrghariduse korralduses muuta või vastupidi, midagi, mis vajab igal juhul hoidmist ja edendamist.

Teaduse finantseerimises peaks olema vähem projektipõhisust ja rohkem orienteeritust järjepidevusele. Riigikokku tagasi saadetud kõrgharidusreformi seadus peaks olema pisut paindlikum ainepunktide sooritustähtaegade osas. Kui sellele lisanduks korralik toetuste pakett vaesematele tudengitele, siis võiks kõrgharidusreformiga rahule jääda.