Diferentsiaalgeomeetria – kõverate ruumide keel

Marek Strandberg

Lauri Kulpsoo Lühivestlus elutöö eest riigi teaduspreemia saanud kauaaegse Tartu ülikooli õpetlase, professor Ülo Lumistega Geomeetriat, seda tavalist, on koolis kõigile õpetatud, nagu ka matemaatilistest funktsioonidest tuletiste võtmist ja paljudele kindlasti ka integreerimist ehk siis funktsiooni väärtuste summeerimist üle mingi hulga muutujate väärtuste. Diferentsiaalgeomeetria on matemaatika valdkond, millega tegelejad uurivad geomeetriliste objektide omadusi mitte ainult meile iga päev nähtavas ja kombatavas kolmemõõtmelises ruumis, vaid selliseid abstraktseid ja sootuks teistsuguste omadustega ruume saab, vähemalt mõtteis, olla üsna palju. Diferentsiaalgeomeetria tuleb koju kätte ühe nime poolest tuntud teooriaga maailmakõiksusest – see on Albert Einsteini loodud üldrelatiivsusteooria. See teooria seletab üht keerukamat ja tabamatut loodusjõudu kui gravitatsiooni maailma olemise koha, aegruumi, geomeetria abil. Mass on nimelt Einsteini seletuste järgi omadus, mis muudab ruumi kõveramaks ja seetõttu ka selles liikuvate objektide, muu hulgas ka valguse, liikumine ei ole enam sirgjooneline.

Kõveras, nn Riemanni ruumis geomeetriliste seoste kirjeldamiseks ja analüüsimiseks ongi diferentsiaalgeomeetria mõeldud.

Keerukate nähtuste selgemaks kirjeldamiseks on üsna levinud, et keerukamaks mõeldakse see keskkond, ruum, kuhu need objektid vaatlemiseks, analüüsimiseks ja arvutamiseks paigutatakse.

Nii ei piirdu diferentsiaalgeomeetria rakendused ainult gravitatsiooninähtuse kirjeldamisega.

Loodud matemaatilised meetodid sobivad ökonomeetria valdkonda. See on majandusteaduse haru, milles mõõdetud ja statistiliselt üldistatud andmetest koostatakse mitmesuguseid ennustusvõimega majandusmudeleid. Neid meetodeid kasutatakse nii arvutigraafikas, pildianalüüsis kui ka materjaliuuringutes, ja geoloogiaski.

Ka matemaatika keerukaimgi osa osutub varem või hiljem looduse mingi osa mõistmiseks vajalikuks keeleks. Selle keele ühe valdkonna, diferentsiaalgeomeetria, uurimise ja arendamisega on tegelnud riigi teaduspreemia pälvinud professor Ülo Lumiste.
M. S.

Kuidas te sattusite matemaatika alale?

Huvi matemaatika vastu tekkis mul Vändra gümnaasiumis, eriti viimases klassis, õpetaja Eino Pillikse innustusel. Ta oli õppinud TPIs, olnud Saksa okupatsiooni ajal raadioreporter, sellal Landessender Reval, Turgel und Dorpat koosseisus. Pärast Nõukogude korra taastamist tuli ta repressioonide kartuses elama Vändrasse. Kuigi tal varasemad õpetamise kogemused puudusid, oli ta töös õpilastega väga võimekas. Ta tegi mulle selgeks, et matemaatikas võib uute tõdedeni jõuda puhta mõtlemise teel ka ilma „punaseid tarkusi” kasutamata. Pärast gümnaasiumi lõpetamist kuldmedaliga ei tekkinud mul kahtlustki, mida minna ülikooli edasi õppima.

Ülikoolis oli matemaatikutel vedanud. Kui paljudel erialadel oli rohkesti õppejõude neil ärevatel aegadel emigreerunud, siis matemaatika õppejõud olid kõik kohale jäänud. Meid õpetasid endiselt vanad professorid Hermann Jaakson, Gerhard Rägo ja Jaan Sarv. Neile lisandus Tartu ülikooli lõpetanud, lühiaega TPIs töötanud ja seejärel tagalatee läbi teinud dots Gunnar Kangro, hiljem professor ja matemaatika juhtfiguur Eestis. Mulle sai kõige lähedasemaks prof Jaan Sarv (1877–1954). Ta oli 1931. aastal kaitsnud Tartus eestikeelse doktoritöö „Geomeetria alused”, milles ta esimesena andis kolme- või ka kõrgemamõõtmelises dimensioonis punktide vahelsusaksiomaatika. Meile õpetas ta ka Lobatševski geomeetriat, tegin koguni auhinnatöö sel alal tema juhendamisel. Kui Jaan Sarv meie hulgast lahkus, nähti minus vististi üht tema töö jätkajat.

Matemaatikat ideologiseerida on vist raske, pigem võimatu. Tegemist on looduse keelega, mida riigipiirid ja rahvused ju ei piira.

Mind suunati ennast täiendama Moskva ülikooli. Sealne eakas diferentsiaalgeomeetria professor Sergei Finikov oli noorena kuulanud Pariisis Elie Cartani loenguid ja tõi hiljem Cartani arvutuse üle ka Moskvasse, pannes koos oma õpilastega G. Laptevi, A. Vassiljevi jt aluse sealsele uuele geomeetria koolkonnale. Ka minust sai selle koolkonna liige, kaitsesin 1958. aastal Moskvas sellekohase kandidaadiväitekirja, kümme aastat hiljem Kaasani ülikoolis doktoriväitekirja. Tegin ettekandeid mitmel rahvusvahelisel konverentsil.

Kujunes koostöö Belgia diferentsiaalgeomeetrikutega. Üks sealne noor, J. Deprez oli sisse toonud semiparalleelse alammuutkonna mõiste, ise seda lähemalt uurimata. See mõiste oli ka mulle lähedane, avaldasin mitu uurimust ja sain F. Dillenilt ja L. Verstraelenilt ettepaneku kirjutada üks peatükk nende kavandatud diferentsiaalgeomeetria käsiraamatusse („Handbook on Differential Geometry”, 2000). Sellest sai pöördepunkt minu loomingus: edaspidi avaldasin oma töid valdavalt inglise keeles rahvusvahelistes ajakirjades. Nendes kujundasin semiparalleelsete alammuutkondade üldise teooria, mille võtsin hiljem kokku oma monograafias „Semiparallel Submanifolds in Space Forms” (Springer, New York, 2009).

Matemaatilist annet leidub kõigis ühiskondades. Milline on Eesti matemaatilise ande ajalugu, näiteks teie tegevusvaldkonnas?

Olles lõpule viinud selle monograafia, võtsin käsile teise. Mind köitis uuesti Jaan Sarve ja tema kaasaegsete Jüri Nuudi ja Arnold Humala arendatud vahelsusaksiomaatika. Avaldasin mõned tööd ja koostasin monograafia „Foundation of Geometry based on betweenness and flag-movements” (Eesti Matemaatika Selts, Tartu, 2009). Selles on näiteks sirged ja tasandid esitatud mitte kui põhimõisted (nagu David Hilbertil), vaid on defineeritud vahelsusaksiomaatikale tuginedes. Märgiksin, et hiljuti lülitati mind maailma juhtivate teadlaste nimistusse („Leading Scientists in the World”), tuues ära minu tööd mõlemas monograafias.

Lõpuks mainiksin ka oma töid matemaatika ajaloo alalt Eestis. Koos Helmut Piirimäega tõime avalikkuse ette Academia Gustavo-Carolina professori Sven Dimbergi maailmas esimesed loengud Newtoni teooriast. Ka Tartu keiserliku ülikooli professori Martin Bartelsi põhjapanevad saavutused kõverate teoorias on leidnud käsitlemist ühes minu artiklis. Olen ka Ferdinand Mindingi monograafia üks autoreid ning Edgar Krahni juubeliväljaande üks koostaja ja autor.