Kas matemaatika on valmis?

Juhan Aru

Matemaatika arenes ja muutus XX sajandil kiiremini kui tema süstematiseerimine ja struktureerimine.Tahaksin lugejaga arutada, kas ja kui valmis on matemaatika ning kas toredam on õppida valmis või pooleli matemaatikat. Mulle tundub, et koolist jääb meelde, et kui matemaatika ka veel päris valmis ei ole, siis on ta suuresti valmis ja kõik tähtis on tehtud. Nii jääb hea kooliõpilase ametiks see teada-tuntu endale selgeks teha ja mis matemaatiku enda amet on, see polegi päris selge – võib-olla lihtsalt siit-sealt masinavärki kruttida, et seda siis paremini maailma heaks rakendada. Ütlen kohe, et mulle isiklikult see vaade ei meeldi ja edasi selgitangi, miks ei meeldi. Pooleli matemaatikaMida üldse tähendab, et matemaatika on valmis? Sellele võib anda mitu tähendust. Näiteks võiks päris valmis matemaatikas olla kõik lõplikult paigas, viimse detailini. Välja oleksid valitud õiged mõisted, õiged definitsioonid, teada oleksid kõik mõistetevahelised seosed, vastatud lihtsad ja rasked küsimused. Seda on muidugi liiast nõutud, lugeja on vahest kuulnud lahendamata Riemanni hüpoteesist ja aimab, et on ka palju teisi vastuseta küsimusi. Näiteks ei tea me veel, kas arvu π kümnendesitluses võib leida kõiki numbreid lõpmatult palju kordi või kas leidub lõpmatult palju algarvude paare, mis erinevad täpselt kahe võrra. Need on lihtsalt sõnastatavad küsimused, ent vastuseid pole näha. Ja häda pole vaid arvudega, otsime veel arusaama ka päris elulisele. Näiteks vedelike liikumise kirjeldamiseks kasutatakse tihti kolmemõõtmelist Navier’-Stokesi võrrandit ja samal ajal ei ole teada, kas sellele võrrandile üldse alati leidub füüsikalistele ootustele vastavaid lahendeid. Küsimus on nii põletav, et kes selle ära lahendab, paneb kohe taskusse miljon dollarit!

On aga matemaatika valmis sel määral, et kõik küsimused on kuskile kirja pandud ja ootavad vastamist? Ei ole! Ka küsimusi sünnib juurde. Pea iga hea vastus viib uue huvitava küsimuseni. Veelgi enam, juurde tuleb ka aina uusi mõisteid ja objekte. Näiteks alles XX sajandi lõpuaastatel tuldi välja uue tõenäosusliku objektiga, mille abil kirjeldame mitme eri olekuga süsteemide geomeetriat täpselt siis, kui süsteem on üleminekus ühest olekust teise. Analoogiline üleminek toimub näiteks hetkel, kui veest saavad jääkristallid – mõelge, mis mustrid kõik sel hetkel tekivad! Veelgi enam, see uus matemaatiline objekt ei ole jäänud vaid matemaatikute mängukanniks, ka füüsikuid oma keerulise aparatuuriga ajavad taga tema jälgi.
Matemaatika ei ole valmis, matemaatika otsib endiselt. Ent kas vähemalt see, mis on juba kirja saanud, jääb püsima ühte ja kindlasse kujusse? Ka siin olen kahtlev. Kui Isaac Newton rääkis integraalist ja tuletisest, siis ei olnud need meie tänapäeva integraal ja tuletis. Kui Blaise Pascal rääkis tõenäosustest, ei teinud ta seda tänapäeva tõenäosusteooria raamistikus. Kui XX sajandi esimesel poolel pandi kirja relatiivsusteooria ja kvantfüüsika matemaatilised alused, siis nüüdisõpikus on see vundament juba hoopis uue näoga. Minu meelest käib pidev otsing parema ja harmoonilisema sõnastuse ning kirjelduste järele ja ei teagi, kas see otsa lõpeb. Matemaatika laieneb ja sellega käib kaasas ka vanade mõistete ümbermõtestamine ja üldistamine, need üldistused annavad aga tihti omakorda uut valgust vanadele alustaladele.
Mitu matemaatilist nägu
Ent tuleme nüüd õppimise juurde. Tunnistan, et on siiski raske näha, kuidas mõned lihtsamad mõisted võiksid veelgi areneda või täpsemaks muutuda, eriti baasmõisted, mis kuuluvad kooliprogrammi. Kas see tähendab, et peaksime õppima seda osa matemaatikast kui valmis peatükki? Näen küll, et nii jõuab kiiremini rohkemate teadmiste ja valemiteni, aga kas midagi siiski ei lähe kaotsi? Jätame ju mulje, et matemaatika on kivistunud teadus, distsipliin, kus on alati üks ja õige ammu valmis saanud definitsioon. See mulje näib mulle nii niru kui ka eksitav! Kuidas üldse saaks mingi kivistunud teadmine olla seoses muutuva maailmaga? Kui arvame, et meil on praegu õiged mõisted ja definitsioonid, kas ei piira meid vahest tänapäeva matemaatiline perspektiiv? Viimaks, nagu arutasime, matemaatika ise otsib endiselt. Teekond heade alusdefinitsioonideni on olnud pikk ja põnev. Kui selle osa unustame, läheb kaotsi teine osa matemaatikast, mis tähendab ise avastamist. Ometi on just see osa minu meelest põnev, ilus, eluline.
Tore oleks, kui seda avastamist ja otsimist näeks rohkem juba koolis. Õigupoolest tundub mulle, et mõistete otsimine ja nendeni jõudmine on ka hea viis nendest arusaamiseks. Kindlasti on nii mõnigi lugeja küsinud, miks defineerime just sedaviisi tuletist või integraali või trigonomeetrilisi funktsioone. Miks nõnda keeruliselt? Tulebki küsida, see on hea ja õige küsimus. Tihti on olemas ka üks või isegi mitu head vastust. Näiteks nii mõnigi kord tuleb lihtsalt otsida, milliseid tingimusi ja omadusi defineeritavalt objektilt soovime. Muidugi pole alati lihtne selgitada, miks ikkagi on kinnistunud üks või teine definitsioon. Ent see pole probleem – vahel ongi ühel elulisel objektil mitu matemaatilist nägu. Mõnikord tuleb välja, et erinevus on ainult perspektiivis ja definitsioonid on samaväärsed. Mõnikord väljendab aga definitsioonide erinevus meie elulise intuitsiooni ebatäpsust – detailsel ja rangel mõttetasemel tekib valikuvõimalusi, mida hajus mõttekäik ei taba.
Õigupoolest pole minu meelest põhjust ka muretseda, kui me alati päris viimase formaalse definitsioonini ei jõua. Kui jõuame ainult küsimusteni ja mõistame, miks mõni definitsioon ei sobi, näeme juba kaugemale. Nagunii koolis kõike päris tänapäevaselt ei defineerita. Reaalarve käsitleme lõbuga, kuigi ei defineeri neid täpselt. Samuti pole piirväärtus või pidevus koolis määratud viisil, mida matemaatika täna täpseks peab – siiski kasutame neid. Ka hiljem, koolijärgses matemaatikas tuleb vahel mängida objektidega, mille definitsioonist kohe aru ei saa või mida kohe defineerida ei oskagi. Alles mängu käigus saavad asjad selgeks, kui muidugi parajalt aega anda. Jah, matemaatiline rangus, täpsed mõisted ja formaalsus on olulised, sest just rangus on argumentide ja intuitsiooni viimane hindaja, nende toetuspunkt ja kandja. Vähemalt sama oluline on tee ranguse poole. See tee on üsna lõbus ja täis avastamist, sellel teel tekib arusaam, miks kogu rangus on tegelikult lihtsustav ja kasulik.

Matemaatika skulptorid ja arhitektid
Tahaksin aga lõpetada hoopis laiemate pintslitõmmetega. Kas matemaatika saab üldse valmis ja kuidas teda valmis ehitada? Veel XX sajandi alguses uskus üks tolle aja suurimaid matemaatikuid David Hilbert, et matemaatika on võimalik väikestest klotsidest ühelainsal parimal moel üles ehitada. Ta uskus, et saame aksiomatiseerida nii matemaatika kui ka füüsika: saame defineerida kõiki objekte ja väiteid kindlal moel, iga väide on kas tõene või väär ning seda saab järeldada sammhaaval aksioomidest. Tema plaani kiskus ribadeks 1930. aastatel Kurt Gödel. Ta näitas, et sellisel aksiomaatilisel ehitusel on põhimõttelised probleemid. Natuke ebatäpselt öeldes: kui nõuame, et matemaatika ülesehitus sisaldaks naturaalarve ja oleks vasturääkivusteta, siis leidub alati mõni väide, mis on küll tõene, ent mille tõesust ei saagi reeglipäraselt tõestada. Veelgi hullem, see väide võib olla just aksiomaatika kooskõlalisuse enda kohta! Võib-olla ei ole teoorias ühtegi vasturääkivust, aga teooria ise seda tõestada ei saa. Kehvasti!
Kõik ei kaotanud siiski kohe lootust matemaatilise teadmise struktureerimisse. Vaid mõned aastad pärast Gödeli põrutavaid teoreeme sai alguse prantsuse matemaatikute rühmitus, kes peitis end – ja peidab praegugi – Bourbaki nime taha. Aktiivne liikmeskond oli juba tookord ja on endiselt salajas. Nad käisid koos lärmamas, jõid endanimelist veini, aga samuti mõtlesid matemaatikast. Nad mõtlesid, et Gödeli tulemustest hoolimata võib ehk matemaatika ühel ilusal standardkujul üles ehitada. Võib-olla leidub väiteid, mida ei saa tõestada, ent kõik selle, mis on juba tõestatud, peaks ju ikka saama ilusasse raamistikku panna? Nüüd võib öelda, et ka nende projekt ei õnnestunud. Samal ajal kui Bourbaki sellid matemaatika ülesehitust kaardistasid ja kirja panid, oli ehitus ise pidevas muutumises. Vundamendivaiad planeeriti küll laialt, ent valmiv maja ei tahtnud ikkagi nende vahele mahtuda. Matemaatika ise arenes ja muutus XX sajandil kiiremini kui tema süstematiseerimine ja struktureerimine. Ja ega see areng olegi enam aeglustunud.
Matemaatika ei ole valmis, ei saagi vist valmis. Ta areneb pidevalt ja mitte sugugi sirgjoont mööda, ta areneb koos maailmaga. Otsimine ja avastamine mängib matemaatikas olulist rolli ning isegi koolimatemaatika mõisted on paindlikumad, kui esialgu paistab. Mulle tundub, et matemaatikaga võiks igaühel tekkida palju soojem ja isiklikum suhe kohe, kui prooviksime matemaatika õppimise asemel ka matemaatikat ehitada, olla ise matemaatika skulptorid ja arhitektid.

Kui sulle meeldis see postitus jaga seda oma sõpradega

[LoginRadius_Share]
 

Leia veel huvitavat lugemist

Värske Rõhk
Hea laps
LR
Keel ja kirjandus
Akadeemia
Kunstel
Muusika
Õpetajate leht
Täheke
TeaterMuusikaKino
Vikerkaar
Looming