Mees, kelle tapsid abstraktsed objektid

Kurt Gödel oli geniaalne matemaatik ja loogik.

KURMO KONSA

Krüptodetektiiv puutub paratamatult kokku elu varjupoolega, selle tumedate saladuste ja saatustega. Ka seekordne lugu ei ole erand ning algab lohutu surmaga.

Ta vaevles peaaegu kogu elu depressiooni, paranoia ja hüpohondria küüsis. Võib-olla said need probleemid alguse juba lapseeast, kui ta põdes küllatki raskelt reumaatilist palavikku. Mida vanemaks ta sai, seda keerukamaks terviseprobleemid muutusid. Terviseperioodid vaheldusid haigusehoogudega üha sagedamini ja üha tõsisemalt. Arstidesse suhtus ta üha kahtlevamalt. Haiglas süüdistas ta arste valetamises ning selles, et nad annavad talle valesid ravimeid. Ta helistas oma sõbrale Oskar Morgensternile ja teatas, et on hüpnootilise mõjutuse all, mis sunnib teda tegema tegusid vastu tema enda tahtmist. Ta kartis, et arstid panevad ta hullumajja või loobuvad üldse tema ravimisest. Ilmselgelt vaevasid teda hallutsinatsioonid. Peaaegu kogu elu oli tal söömisprobleeme. Ta kartis nimelt, et teda tahetakse mürgitada. Samal ajal tarvitas ta pidevalt väga mitmesuguseid ravimeid. Kui varem oli ta vähemalt söönud naise tehtud toite, siis pärast seda, kui naise haigus ei lubanud tal enam abikaasa eest hoolitseda, jättis mees söömise peaaegu täielikult. Ta nägi välja justkui elav laip ja kaalus surres vaid 30 kilo ringis. Surmatunnistusele kirjutatigi surma põhjusena alatoitumus ja elutüdimus. Olles kogu maailmast vaevatud, suri ta 1978. aastal 14. jaanuari pärastlõunal 72 aasta vanusena. See mees oli Kurt Gödel,1 kuid Gödeli maailmani jõudmiseks tuleb alustada märksa kaugemalt.

Kurt Gödel (28. aprill 1906 Brno – 14. jaanuar 1978 Princeton) oli Austria-Ameerika loogik, matemaatik ja filosoof, kelle põhilised tööd puudutavad loogikavaldkonda. Gödeli-nimelist auhinda antakse välja silmapaistvate teoreetiliste arvutiteaduse alaste uuringute eest. Gödeli masin on aga teoreetiliselt eksisteeriv end ise arendav arvutiprogramm, termin võeti kasutusele XXI sajandil.

Wikimedia Commons

Keerukustasandite joonised

Inimene otsib maailmast korrastatust, ja mitte et ainult otsib, vaid ka leiab. Sarnased objektid ja nähtused rühmitatakse ja see viib paratamatult järjest üldisemate rühmade määratlemisele. Õige pea tekib mõte, et erinevad objektigrupid ei ole võrdsed, vaid asetuvad hierarhiliselt, nii et kõrgem tase haarab endasse madalamad tasemed. Nii kujuneski juba antiikajal välja olemise astmestiku (scala naturae) idee.2 Kui antiik- ja keskajal lähtuti objektide rittaseadmisel nende n-ö loomulikust täiuslikkusest, siis tänapäeval püütakse leida täpsemaid keerukuse määratlusi ning nendele tuginedes luua kogu maailma ehitust hõlmavaid süsteeme. Toon järgnevalt neist mõned näited.

Preester, paleontoloog ja filosoof Pierre Teilhard de Chardin (1881–1955) eristas oma süsteemis järgmiseid keerukustasemeid: aatomid, molekulid, rakud, elusolendid, inimteadvus ja Omega punkt, mis kujutab endast teadvuse kõige keerukamat arengutaset.3 Eesti filosoof Margus Ott käsitleb suuremate erisustena järgmiseid tasandeid: massita elementaarosakesed (footon, gluuon), fermionid, barüonid-mesonid, aatomituumad, aatomid, keemilised ühendid, elusolendid (meeleolendid), inimene (keelelolend).4 Eelmisel aastal raamatu „Kvarkidest kultuurini“5 avaldanud Tyler Volk räägib oma kombogeneesiteoorias fundamentaalkvantidest, nukleonidest (prootonid ja neutronid), aatomituumadest, aatomitest, molekulidest, eeltuumsetest rakkudest, päristuumsetest rakkudest, mitmerakulistest organismidest, loomade sotsiaalsetest gruppidest, suguharude metagruppidest, põllundusküladest ja geopoliitilistest riikidest. Operaatorite teooria6 järgi on olulisteks keerukustasanditeks hadronid, aatomid, molekulid, rakud, endosümbiootilised rakud, mitmerakulised organismid, mitmerakulised endosümbiontsed organismid (nt taimed, seened), memon. Memonina käsitletakse rakke, mis edastavad signaale teistele rakkudele. Tegemist on seega organismidega, millel on närvivõrgustik.

Nagu näha, on mõned eristatud tasandid erinevatel autoritel sarnased ja mõned jällegi erinevad. Eks see ole ka paratamatu, kuna tundub, et keerukuse selgitamisel lähtutakse intuitiivselt arusaadavatest „keerukusetompudest“ ja teooria sinna juurde leiutatakse alles tagantjärele. Võib-olla see ongi õige käsitus ja mingit ühtset seaduspära, mille järgi erinevad keerukusetasandid kujunevad, ei olegi. On ju kogu see maailm antud meile ainult ühes eksemplaris ja seega ei saa me oma hüpoteese millegi peal kontrollida. Ometigi võime ka selliste kirjelduse korral teha üldistusi ja püüda vastata järgmistele küsimustele. Millele tuginedes järjest keerukamad tasandid tekivad ja kuidas see protsess toimub? Kas meil on võimalik leida mingi üldine joonis või algoritm, mis juhib keerukuse kujunemist? Eristatavad tasandid on selgelt erineva keerukusega. Mida kõrgem tasand, seda suurem keerukus. Milles see keerukus täpselt seisneb, on raske öelda, aga üldised kriteeriumid selle hindamiseks on siiski välja pakutud.

Esiteks, keerukamad kehad koosnevad rohkematest omavahel seotud osadest.

Üherakuline organism koosneb, nagu nimetuski ütleb, ühest rakust. Inimeses on seevastu 3,7 × 1013 rakku.7 Ühes rakus on jällegi väga palju aatomeid ja molekule. Hinnanguliselt on ühes inimese rakus 1014 aatomit.

Teiseks, kuigi koostisosade suur arv on vajalik keerukate süsteemide tekkeks, ei ole see siiski piisav. Vajalik on ka elementide omavaheline dünaamiline seostumine. Keerukas süsteem koosneb omavahel ühendatud osadest, millevahelised seosed on pidevas muutumises. Keerukad süsteemid muutuvad ajas. Seosed elementide vahel moodustavad suletud ahelaid, mille korral elemendi väljund muutub uuesti, kas kohe või vaheastmete kaudu, sama elemendi sisendiks. Sellise olukorra tähistamiseks kasutataks terminit rekursioon. Tagasiside võib olla nii positiivne (tugevdav, stimuleeriv) kui ka negatiivne (pidurdav, inhibeeriv). Süsteemi toimimiseks on vajalikud mõlemat tüüpi tagasisideahelad. Süsteemi elementidel ei ole kogu teavet süsteemi kui terviku kohta, nad suhestuvad üldjuhul vaid teatud arvu teiste elementidega.

Kolmandaks, mida keerukamad on süsteemid, seda enam sõltub nende püsimine ja toimimine võimalikult kontsentreeritud energiavoogudest. Mida keerukam on objekt, seda suurem peab olema seda läbiva energiavoo tihedus.8 See on seotud asjaoluga, et keerukad süsteemid on avatud, s.t pidevas vastastiktoimes ümbritseva keskkonnaga. Keerukate süsteemide korral on sageli raske tõmmata täpset piiri süsteemi ja tema keskkonna vahele. Suuresti sõltub süsteemi piiritlemine kirjeldajast ja tema positsioonist. Süsteem mõjutab ja isegi loob enda keskkonda. Samas on see vahetegemine oluline süsteemi ja selle toimimise määratlemiseks.

Neljandaks, keerukamate objektide korral ilmnevad emergentsed nähtused. Kui osadest pannakse kokku keerukam süsteem, ilmnevad sellel uued omadused. Emergentsed tunnused tekivad süsteemi moodustavate osade vastastiktoimel, neid ei ole osadel endil.

Keerukustasandite tekkemehhanism

Ei ole kaugeltki selge, kuidas need järjest keerukamad objektid tekivad. Ometigi saab välja tuua mõningad seaduspärasused, mis põhinevad seniste keerukustasandite kirjeldustel. Iga uus tekkiv tase tugineb eelmistele, seega jäävad kõik varasemad tasemed alles ning hõlmatakse uude tasandisse. Uus tase tekib eelmise taseme objektidest, millestki muust ju seda teha ei olegi. Eelneva tasandi objektid kombineeruvad ja integreeruvad, moodustades uue tasandi keerukama objekti. Uuel tasemel tekivad eelmise taseme objektide vahel uued seosed ja nad moodustavad uue objekti. Kas need seosed, mis muutuvad järgmisel tasandil peamisteks, on potentsiaalselt olemas juba eelmises? Ilmselt küll, on ju aatomil olemas potentsiaalne võime moodustada molekule. Molekulidel jällegi on potentsiaalne võime toimida elusraku osadena. See potentsiaal realiseerub siis, kui moodustub uue taseme objekt. Eelmise taseme potentsiaalsus arendatakse täielikult välja järgmisel tasandil. Objektid muutuvad tänu uutele sidemetele, mis tekivad uue taseme objektis. Seega need eelmise taseme objektid muutuvad oluliselt, kui moodustavad uue taseme objekte.

Kõikidele tasanditele iseloomulikud struktuurid kujunevad välja kindlate arenguprotsesside kaudu. Nii kujuneb näiteks keeruka ontogeneetilise arenguprotsessi tulemusena viljastatud munarakust inimorganism. Organism on kindlasti lisaks konkreetsel ajahetkel vaadeldavale struktuurile ka kogu arenguprotsess, mis selle struktuuri on tekitanud. Struktuur areneb antud taseme piires võimaldatava piirini.

Ülemine tasand tugineb alumistele tasanditele ning reguleerib nende toimimist. See regulatsioon ei ole muidugi täielik, väga palju alumisest tasandist ülemist tasandit ei huvita, need jäävad kõik alumise tasandi siseasjaks. Nii nagu inimene ei reguleeri teadlikult oma südame löögisagedust, nii ei reguleeri rakk kõikide aatomite liikumist. Aatomid ja molekulid alluvad oma tasandi seadustele, kuid rakk reguleerib nende funktsioneerimist vastavalt oma vajadustele. Elu ei ole keemia, kuid ilma keemiata ei oleks ka elu!

Ülemine tasand imbub alumisse, nad ei ole täielikult iseendasse suletud, koosneb ju ülemine tasand alumise elementidest ning reguleerib samal ajal alumisi tasandeid. Selle imbumise tõttu on meil loodetavasti võimalik saada aimu ülemisest tasandist. Võib-olla on see ainult minu soovmõtlemine, aga kuidas saaks krüptodetektiiv tegutseda, kui ta oleks ainult oma tasandile lukustatud.

Uus tasand peab ennast piiritlema, eritlema eelnevast ja ka järgnevast tasandist ning ühtlasi ka keskkonnast. Iga kõrgem tasand on järjest suurema autonoomsusega, järjest selgepiirilisemalt keskkonnast eristunud. Samal ajal on sellel jällegi järjest võimsamad vahendid nii keskkonna tunnetamiseks kui ka selle ümberkujundamiseks. Mida keerukam on struktuur, seda keerukam on ka tema keskkond. Põhjuseks asjaolu, et ta suudab keskkonda keerukamal viisil tajuda ja mõjutada. Kõrgem tasand kogub infot keskkonnast ja kontekstist märksa mitmekesisemalt. Ta tunnetab maailma märksa täielikumalt. Välisel vaatlusel võib see kõik jääda märkamata. Kui vaatame internetti, siis näeme küll keerukat taristut, kuid see on tühiasi võrreldes kogu selle teabemaailmaga, mis seal on.

Krüptodetektiivi huvitab aga alati see, mis on varjatud, mida me ei tea, ja veelgi paremal juhul isegi ei saa kunagi teada. Sest need on ju kõige huvitavamad küsimused. Sellist küsimust ei ole vaja kaugelt otsida, loomulikult huvitab mind see, milline on järgmine keerukusetase.

Milline võiks siis olla järgmine keerukuse tase?

Selle küsimuse juurde jõudmiseks tuleb esmalt leida meie praeguse maailma kõige keerukam struktuuritase. Arvatavasti on meile praegu tuntud maailma kõige keerukamad objektid inimaju ja mõtted. Mõtted on ühel või teisel viisil seotud ajuga, kas see on piisav või on veel midagi vaja, ei ole seniajani selge. Igal juhul on inimese mõtted seotud aju kindlate piirkondade neuronvõrgustikega. Kui otsida inimaju erinevust loomaajust, siis just närvirakkude ühendustes peitub inimaju eripära. Loomulikult ei seleta inimese aju erinevus meie kui liigi erinevust teistest elusolenditest. Ennekõike on selleks ikkagi suhted maailmaga, keeruka seostevõrgustiku loomine inimese aju ja maailma vahel, mis annab inimese maailmale tema näo.

Kui palju meil mõtteid on? Ilmselt palju. Kui palju täpselt, on jällegi raske öelda. Selge on see, et termin „mõte“ ei ole selgelt määratletud. Kui esmalt tundub, et mõttega on asi selge, siis edasi mõeldes selgub, kui raske on tõmmata piiri selle vahel, kust üks mõte lõpeb ja teine algab. Kui erinevad on mõtted? Kui ma silitan oma kassi, siis tunnen midagi. Kindlasti on see mõte, aga võib-olla hoopis taju. Kui mõtlen Gödeli teoreemist, siis on tegemist mõttega. Aga kas ühe või mitmega? Kas mõtte olemasoluks on vajalik teadvus või on osa mõtteid ka teadvusevälised? Nagu katsed on näidanud, ei ole mõtete olemasoluks teadvustamine vajalik. Ilmselgelt on loomadel mõtted, selles ei kahtle ükski koera- ega kassiomanik. Kuidas on lood aga näiteks vihmaussiga? Küsimusi on hulga rohkem kui vastuseid.

Füüsikalisest seisukohast kujutab mõte endast osakeste äärmiselt keerukat dünaamiliselt arenevat süsteemi. Aga kui keerukat? Mõtete teke on seotud neuronitega ajus. Kui palju neuroneid on vaja, et tekiks mõte, ei oska küll keegi öelda. Inimese ajus on ligikaudu 100 miljardit neuronit,9 neuronil on 1000 – 10 000 sünapsit ehk ühendust teiste neuronitega, seega on sünapsite arv ajus ligikaudu 1015. Mõtete tekkel on olulised neuronitevahelised seosed. Kui palju neuroneid on aga vaja ühe mõtte jaoks, on ilmselt võimatu öelda. Võime läheneda probleemile teise külje pealt, küsides, kui palju mõtteid inimene mõtleb, aga ega sellelegi ole kerge vastata. Üheks katseks mõtete kokkulugemise kohta on neurokuvamise laboris (Laboratory of Neuro Imaging10) tehtud tehtud katsed. Tudengitel lasti kirja panna kõik mõtted, mis neil olid tekkinud. Mõtteks loeti seejuures „sporaadilist ühe kindla ideega seotud kognitiivset kontsepti, mis tekib mõtlemisakti või spontaanse süsteemi tasemel aju aktivatsiooni tulemusena“ (kas saite midagi aru?). Tulemuseks saadi, et ühel inimesel võib päevas tekkida 60 000 – 70 000 mõtet.11 Sellisel juhul kogeks inimene keskmise eluea jooksul 15 340 172 340 000 mõtet. Loomulikult realiseerub ühes kindlas ajus kindlal ajahetkel nendest üüratutest võimalustest ainult kaduvväike osa, aga ikkagi – meie armsad mõtted, nii omased ja kallid, vahel muidugi ka mitte.

Mis siis edasi saab? Mõtete paljusus koondatakse kokku uue tasandi objektideks. Uue tasandi objektid liidavad paljusid mõtteid, seovad need ühte ja piiritlevad. Tekitavad neist midagi uut. Mis see uus siis on? Kuidas saaksime piiluda uue keerukuse maailma? Loomulikult tuleb meil seda teha kaudsel viisil, kuna otsene ligipääs teise tasandi sisule meil ju puudub. Tegemist ei ole kohe kindlasti lihtsa ülesandega. Sellesarnaseid ülesandeid lahendab inimene iga päev, kui ta suhtleb teistega. Me ei saa mitte kuidagi otseselt näha ega tajuda teiste inimeste mõtteid ja tundeid. Me ei saa olla keegi teine, aga me kujutleme ennast kogu aeg teiseks ja enamikul juhtudest on meil ka enam-vähem õigus. Ülesanne on aga hoopiski keerukam. Meil ei ole võimalik iseennast mudeliks võtta, kuna oleme ju oma tasandi olevused. Kohe kindlasti on meil võimalik teha mingeid oletusi. Kas need ka tõeks osutuvad, on raske öelda. Kuna tasandid ei ole üksteisele suletud, vaid tulenevad üksteisest, siis mingeid aimdusi võib ju välja pakkuda. Samuti on võimalik leida analoogiad teiste tasemete võrdlustest.

Gödeli maailm

Milline see uue tasandi maailm siis on? Siinkohal tuleb teha pööre, nimelt vaadata loogika ja matemaatika filosoofiasse.

Kurt Gödel, mees, kes üritas piiluda mõtete taha, oli möödunud sajandi kõige geniaalsem matemaatik ja loogik. Teda võib rahulikult panna ritta selliste inimõtte suurkujudega nagu Aristoteles, Immanuel Kant, Albert Einstein. Just Einsteiniga siduski teda ka sügav intellektuaalne sõprus ja vastastikune austus. John von Neumann, kes ise oli samuti geniaalne matemaatik, nimetas Gödelit suurimaks loogikuks peale Aristotelest. Jaht tundmatule lõppes Gödelile halvasti, nagu loo alguses on kirjeldatud. Olid need ikka arstid või hoopiski abstraktsed objektid, mida Gödel jahtis ja mis lõpuks hoopiski tema enda kätte said? Kurt Gödelit tunneme ennekõike mittetäielikkuse teoreemide väljamõtlejana. Gödeli mittetäielikkuse teoreemid ehk Gödeli teoreemid on kaks teoreemi matemaatilises loogikas, mis selgitavad iga loogilist süsteemi, mis sisaldab formaalset aritmeetikat, piiratust või mittetäielikkust. Gödel väitis, et igas formaalses aritmeetikas leidub tõene lause, mis ei ole antud formaalses aritmeetikas tõestatav. Nende teoreemide tegelik mõte kipub aga jääma arusaamatuks. Gödel tahtis nende teoreemide kaudu näidata, et peale loogika ja mehaanika on matemaatikas veel midagi. Midagi sellist, mida ei saa mehaaniliselt eeldustest loogikareegleid järgides tuletada.

Milleks tal seda vaja oli? Kas tegemist oli vaid kitsa loogika ja matemaatika probleemiga? Ühelt poolt kindlasti, sest tema teoreemid ei räägi midagi väljaspool matemaatikat oleva kohta, kuigi sageli püütakse neid laiendada inimese mõtlemisele, maailma seletatavusele jms. Teisalt huvitas Gödelit see, milline on meie maailm. Kas see, mida tajume ja teame, on kõik? Kas meil on võimalik küünitada kuhugi kaugemale? Kui Gödeli loogika- ja füüsikaalaseid töid tunnustatakse ilma igasuguste kahtlusteta, siis tema kui filosoofi kohta arvamused lahknevad.

Vaadetelt oli Gödel veendunud matemaatiline platonist. Platonliku metafüüsika kohaselt on abstraktsed objektid reaalselt olemas, need eksisteerivad objektiivselt. Gödel oli selle vaate kindel pooldaja. Ta on ise kirjutanud: „Mulle tundub, et selliste [loogiliste ja matemaatiliste] objektide eeldamine on täpselt niisama legitiimne kui füüsikaliste kehade eeldamine, ja on üsna ühepalju alust uskuda nende tegelikkusesse. Nad on samas mõttes tarvilikud rahuldava süsteemi saamiseks matemaatikas, kui füüsikalised kehad on tarvilikud meie meeletajude rahuldavaks teooriaks, ja mõlemal juhul on võimatu tõlgendada propositsioone, mida tahetakse väita nende entiteetide kohta, kui propositsioone „andmete“ kohta, s.t teisel juhul – tegelikult aset leidnud meeleliste aistingute kohta.“12

Järgides Gödeli ideid võiks pakkuda välja idee, et järgmine keerukustase koosneb mõtetest, mis moodustavad ühinedes abstraktsete objektide sarnaseid struktuure. See uus tase on Gödeli tase. See maailm oleks platooniliste ideede maailm või midagi väga sellesarnast. Mõtete kokkuvõtmisel avaneb uus maailm, värvilisem ja kirkam, kaunim ja parem. Täis hoopis uusi olendeid ja lootusi. Eelmise tasandi probleemid saavad lahendatud ja see loob aluse hoopis uutlaadi ja märksa keerukamate küsimuste ja katsumuste ilmumiseks.

Tegemist on uue mudeliga, mis paistab allolevale subjektiivsete mõtete tasandile ideaalsete platonlike ideedena. Need ideed on kindlasti elusad, mõtlevad ja isiksused, sest seda on ju kõik alamad tasemed. Lisaks on nad veel midagi, mida me ei tea.

Gödelist järelejäänud paberite hulgas on dokument pealkirjaga „Minu filosoofilised vaated“. Selles on ka järgmised väited: „On olemas teised maailmad ja erinevat ning kõrgemat liiki ratsionaalsed olendid. Need kõrgemad olendid on ühendatud teistega analoogia, mitte struktuuri kaudu. Maailm, milles me praegu elame, ei ole ainuke, milles me elame või oleme elanud.“13 Mõeldes nende lausete ja Gödeli surma peale tekib krüptodetektiivil hirm.

1 Eluloolised andmed Kurt Gödeli kohta pärinevad järgmistest raamatutest: Richard Tieszen, Simply Gödel. New York: Simply Charly 2017. Wang, Hao, A Logical Journey: From Gödel to Philosophy. Cambridge, Mass.: MIT Press 1996; Wang, Hao, Reflections on Kurt Gödel. Cambridge, Mass.: MIT Press 1987.

2 Vt lähemalt: Kurmo Konsa, Otsides arengu algoritmi – Sirp, 27. V 2016. http://www.sirp.ee/s1-artiklid/c21-teadus/otsides-arengu-algoritmi/

3 Pierre Teilhard de Chardin, The future of man. London: Collins 1969.

4 Margus Ott, Vägi: Väekirjad I. Tallinn: Tallinna Ülikooli Kirjastus 2015.

5 Tyler Volk, Quarks to culture: How we came to be. New York: Columbia University Press 2017.

6 Operaatorite teooria kohta vt: Gerard A. J. M. Jagers op Akkerhuis (editor), Evolution and Transitions in Complexity: The Science of Hierarchical Organization in Nature. Cham: Springer 2016.

7 Bianconi E, et al., An estimation of the number of cells in the human body. Annual Human Biology, 2013 40(6), lk 463–471. DOI: 10.3109/03014460.2013.807878.

8 Selle kohta vt lähemalt: Kurmo Konsa. Energiast ja arengust. – Sirp, 7. VIII 2015. http://www.sirp.ee/s1-artiklid/c21-teadus/energiast-ja-arengust

9 Kust see arv on tulnud, ei ole selge. Mõne uurimuse kohaselt on neuronite arv väiksem (86 miljardit), vt nt F. A. Azevedo, L. R. Carvalho, L. T. Grinberg, J. M. Farfel, R. E. Ferretti, R. E. Leite, W. Jacob Filho, R. Lent, S. Herculano-Houzel, Equal numbers of neuronal and nonneuronal cells make the human brain an isometrically scaled-up primate brain – Journal of Comparative Neurology, 2009, 513, 5, lk 532–541. DOI: 10.1002/cne.21974.

10 http://www.loni.usc.edu/

11 What is thought? http://neurocritic.blogspot.com.ee/2017/06/what-is-thought.html

12 Tsitaadi tõlge pärineb järgmisest väga põnevast Kurt Gödelit käsitlevast artiklist: Piret Kuusk, Reaalne ja ebareaalne aeg. – Akadeemia, 2006 4(205), lk 771–780.

13 A. Palle Yourgrau, World without time: The forgetten legacy of Gödel and Einstein. New York: Basic Books, 2005, lk 104–105.

Kui sulle meeldis see postitus jaga seda oma sõpradega

[LoginRadius_Share]

Leia veel huvitavat lugemist

Värske Rõhk
Hea laps
LR
Keel ja kirjandus
Akadeemia
Kunstel
Muusika
Õpetajate leht
Täheke
TeaterMuusikaKino
Vikerkaar
Looming
Müürileht